Numerische Simulation Wie die FEM die Welt berechenbar macht

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Die Finite-Elemente-Methode verbindet unterschiedliche Ingenieurdisziplinen. Ihre Entwicklung reicht von frühen Variationsverfahren über Festigkeitsberechnungen im Flugzeugbau bis zur gekoppelten Multiphysik. Doch wie funktioniert das Verfahren?

In einem Leistungsmodul wirken elektrische, thermische und mechanische Vorgänge zusammen. Ströme erzeugen Verluste, die entstehende Wärme breitet sich durch unterschiedliche Materialien aus. Halbleiter, Metallisierung, Substrat und Verbindungsschichten erwärmen sich und dehnen sich unterschiedlich aus. Daraus können mechanische Spannungen entstehen, die bei wiederholten Temperaturwechseln zur Schädigung beitragen. Elektrische Funktion, Kühlung und mechanische Zuverlässigkeit hängen damit unmittelbar zusammen.

Um diese Zusammenhänge zu untersuchen, reichen einzelne Kennwerte nicht aus. Ein thermischer Widerstand beschreibt beispielsweise einen Zusammenhang zwischen Verlustleistung und Temperaturdifferenz unter bestimmten Bedingungen, aber keinen Hotspots oder Verteilungen. Hier ist eine räumlich aufgelöste Simulation notwendig. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ermöglicht es, Feldgrößen wie Verschiebung, Temperatur oder elektrisches Potenzial näherungsweise zu berechnen. Dazu unterteilt sie das Rechengebiet in kleine Elemente und beschreibt die gesuchten Felder durch mathematische Ansatzfunktionen. Aus deren Zusammenwirken entsteht ein numerisch lösbares Gleichungssystem.

Die FEM lässt sich historisch nicht auf eine einzige Erfindung zurückführen. Zu den Vorläufern gehören die Arbeiten von Rayleigh und Ritz. Der grundlegende Gedanke solcher Variationsansätze besteht darin, eine gesuchte Funktion durch einen Ansatz mit endlich vielen unbekannten Parametern zu ersetzen. Diese Parameter werden beispielsweise so bestimmt, dass ein Energieausdruck stationär wird. Damit lässt sich ein kontinuierliches Problem auf eine endliche Zahl von Unbekannten zurückführen.

Richard Courant beschrieb 1943 in seiner Arbeit „Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations“ unter anderem stückweise lineare Funktionen auf einer Zerlegung in Dreiecke. Die Funktionswerte an den Netzpunkten bildeten dabei die endlich vielen Unbekannten. Darin ist bereits ein wesentlicher Gedanke heutiger finiter Elemente erkennbar: Die Näherung wird aus einfachen, lokal definierten Funktionen aufgebaut.

Der Flugzeugbau gab Impulse

Der Durchbruch im Ingenieurwesen folgte in den 1950er-Jahren. Flugzeugkonstruktionen stellten Anforderungen, die sich mit einfachen Balken- und Stabmodellen nur begrenzt erfassen ließen. Gerade bei komplexen Tragflächen mussten flächige Strukturen und ihre Lastverteilung genauer beschrieben werden.

1956 veröffentlichten M. Jonathan Turner, Ray W. Clough, Harold C. Martin und Leonard J. Topp die Arbeit „Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures“. Sie gehörte zu den prägenden Veröffentlichungen der frühen FEM und beschrieb die Berechnung komplexer Strukturen mithilfe von Elementsteifigkeiten. John Argyris lieferte mit seinen Arbeiten zu Energieverfahren und zur Matrizenformulierung der Strukturanalyse ebenfalls wichtige Grundlagen.

Clough verwendete 1960 in einem Beitrag zur Berechnung ebener Spannungszustände den Begriff „Finite Element Method“. Der Name brachte das Vorgehen auf den Punkt: Ein Kontinuum wird durch eine endliche Anzahl räumlich ausgedehnter Elemente beschrieben.

1967 erschien „The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics“ von Olgierd C. Zienkiewicz und Y. K. Cheung. Das frühe Lehrbuch trug zur Systematisierung und Verbreitung der Methode bei.

Parallel entstanden allgemein verwendbare Berechnungsprogramme. Ein Beispiel ist das von der NASA initiierte NASTRAN-Projekt. Frühe Programmversionen für statische Analysen wurden bereits bis Juli 1968 an fünf NASA-Zentren ausgeliefert. Die Entwicklung solcher Software begann somit vor den häufig als Kommerzialisierungsphase genannten 1970er-Jahren.

Die weitere Verbreitung beruhte auf mehreren Fortschritten: leistungsfähigeren Rechnern, verbesserten Elementformulierungen, effizienteren Gleichungslösern sowie Werkzeugen zur Geometrieaufbereitung, Vernetzung und Ergebnisdarstellung. Aus spezialisierten Berechnungsprogrammen entwickelten sich umfassende Simulationsumgebungen.

Am Anfang steht das physikalische Modell

Eine FEM-Berechnung beginnt nicht mit dem Netz, sondern mit einer Modellierungsentscheidung. Zunächst muss feststehen, welche physikalischen Vorgänge für die Fragestellung wesentlich sind und welche Vereinfachungen zulässig bleiben. Soll beispielsweise die Temperaturverteilung in einer Baugruppe untersucht werden, benötigt das Modell Angaben zu den Wärmequellen, den Wärmeleitfähigkeiten und der Wärmeabgabe an die Umgebung. Bei zeitabhängigen Vorgängen kommen die Wärmespeicherung und ein Anfangszustand hinzu. Eine mechanische Analyse benötigt dagegen unter anderem Materialgesetze, Lasten und Lagerungsbedingungen.

Auch die räumliche Beschreibung ist eine Entscheidung. Ein schlankes Bauteil kann unter geeigneten Voraussetzungen als Balken, eine dünne Struktur als Schale modelliert werden. Ein vollständiges dreidimensionales Volumenmodell ist deshalb nicht automatisch die zweckmäßigste Lösung. Entscheidend ist, ob die gewählte Beschreibung die gesuchten Effekte erfasst. Die FEM löst anschließend die Gleichungen dieses Modells näherungsweise. Sie entscheidet nicht selbst, ob etwa eine vernachlässigte Kontaktschicht, eine idealisierte Einspannung oder ein vereinfachter Wärmeübergang für die reale Anwendung zulässig ist.

Aus dem Rechengebiet wird ein Netz

Bei der räumlichen Diskretisierung wird das betrachtete Gebiet in endlich viele Teilgebiete zerlegt. In zwei Dimensionen sind dies beispielsweise Dreiecke oder Vierecke, in drei Dimensionen Tetraeder, Prismen oder Hexaeder. Zusammen bilden sie das Finite-Elemente-Netz.

Die Elemente sind dabei nicht nur geometrische Unterteilungen. Zu ihnen gehören Ansatzfunktionen, mit denen die gesuchte Größe innerhalb des jeweiligen Elements beschrieben wird. Für ein skalares Feld lautet ein typischer Ansatz:

Dabei bezeichnet u_h die Näherung des tatsächlichen Feldverlaufs. Die Funktionen N_i legen fest, wie sich das Feld innerhalb des Elements verändert. Die Koeffizienten u_i sind zunächst unbekannt und werden durch die Berechnung bestimmt.

Bei üblichen Lagrange-Elementen entsprechen diese Koeffizienten den Werten an den Elementknoten. Ein lineares Dreieckselement kann beispielsweise eine Temperaturverteilung beschreiben, die innerhalb des Elements linear verläuft. Elemente höherer Ordnung erlauben komplexere Verläufe und besitzen zusätzliche Freiheitsgrade.

Die Genauigkeit hängt deshalb nicht allein von der Elementanzahl ab. Ebenso wichtig sind die Ansatzordnung, die Elementform und die Verteilung der Elemente. Ein Netz sollte insbesondere dort ausreichend auflösen, wo sich die Lösung räumlich stark verändert.

Verbindung von Physik und Näherung

Die physikalischen Zusammenhänge werden häufig durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Für eine übliche FEM-Formulierung wird die jeweilige Gleichung mit einer Testfunktion gewichtet und über das Rechengebiet integriert. Durch partielle Integration werden Ableitungen teilweise auf die Testfunktion übertragen. Bei der Wärmeleitung treten in der resultierenden schwachen Form beispielsweise nur noch erste räumliche Ableitungen der Temperatur auf. Dadurch sinken die Anforderungen an die Differenzierbarkeit der Näherung. Zugleich entstehen Randterme, über die sich etwa vorgegebene Wärmeflüsse berücksichtigen lassen.

Die Bezeichnung „schwach“ bedeutet dabei nicht, dass die Gleichung nur als einfacher Mittelwert erfüllt wird. Die kontinuierliche schwache Form muss für alle zulässigen Testfunktionen gelten. Bei der Diskretisierung wird dieser Raum auf endlich viele Testfunktionen eingeschränkt; für diese muss die Gleichung weiterhin erfüllt sein. Beim üblichen Galerkin-Verfahren werden Ansatz- und Testfunktionen aus entsprechend zusammengehörigen Räumen gewählt. Vorgeschriebene Werte am Rand sind dabei zu beachten: Während die gesuchte Lösung beispielsweise eine vorgegebene Temperatur annehmen muss, verschwinden die zugehörigen Testfunktionen an diesem Rand.

Wie aus Elementen eine Matrix entsteht

Durch Einsetzen der Ansatzfunktionen in die schwache Form ergeben sich die Beiträge der einzelnen Elemente. Diese werden entsprechend ihrer gemeinsamen Freiheitsgrade zu einem globalen System zusammengesetzt. Dieser Schritt wird als Assemblierung bezeichnet. Für ein lineares, stationäres Problem ergibt sich nach geeigneter Berücksichtigung der Randbedingungen häufig die Form

Der Vektor u enthält die unbekannten Freiheitsgrade. Die Matrix K beschreibt ihre Zusammenhänge. In sie gehen Geometrie, Materialeigenschaften und Ansatzfunktionen ein. Der Vektor f enthält Quellen, Lasten und entsprechende Randbeiträge. Die Systemmatrix ist somit nicht mit einer einzelnen Materialgröße gleichzusetzen. In der Mechanik hängt die Steifigkeit eines Elements sowohl vom Material als auch von seiner Geometrie und seiner mathematischen Beschreibung ab. Entsprechend bestimmt die Wärmeleitfähigkeit allein noch nicht die Matrix einer thermischen Berechnung.

Da die Ansatzfunktionen üblicherweise nur lokal wirken, sind viele Matrixeinträge null. Solche dünn besetzten Matrizen lassen sich mit darauf abgestimmten Verfahren speichern und lösen. Dennoch können große dreidimensionale Modelle erhebliche Anforderungen an Arbeitsspeicher und Rechenzeit stellen. Vorgeschriebene Randwerte begrenzen die zulässige Lösung unmittelbar. Eine feste Einspannung legt Verschiebungen fest, eine vorgegebene Temperatur entsprechende thermische Freiheitsgrade. Solche Bedingungen dürfen deshalb nicht pauschal mit äußeren Kräften oder Quellen gleichgesetzt werden.

Zeitabhängige und nichtlineare Probleme

Die Gleichung Ku = f beschreibt nur einen Teil der möglichen Aufgaben. Beim Aufheizen eines Körpers muss zusätzlich berücksichtigt werden, dass das Material Energie speichert.

Bei mechanischen Schwingungen treten entsprechend Trägheits- und gegebenenfalls Dämpfungsterme auf. Eine ausreichend feine räumliche Diskretisierung allein garantiert deshalb noch keine genaue zeitabhängige Lösung. Auch die zeitliche Auflösung beziehungsweise die Fehlertoleranz des Zeitintegrators muss zum Vorgang passen. Weitere Anforderungen entstehen durch Nichtlinearitäten. Die elektrische Leitfähigkeit kann von der Temperatur abhängen, ein magnetischer Werkstoff kann in Sättigung geraten, ein mechanischer Kontakt kann sich öffnen oder schließen. Dann verändern sich die Gleichungen mit dem gesuchten Zustand.

Nichtlineare Löser bestimmen die Lösung typischerweise iterativ, etwa durch wiederholte Linearisierung. Eine numerisch konvergierte Iteration bedeutet dabei zunächst nur, dass das diskrete Gleichungssystem innerhalb der gewählten Toleranzen gelöst wurde. Sie bestätigt noch nicht die Genauigkeit des Netzes oder die Eignung des physikalischen Modells.

Unterschiedliche Physik

Die breite Anwendbarkeit der FEM beruht darauf, dass sich viele Feldgleichungen in geeignete schwache Formulierungen überführen lassen. Die physikalischen Gesetze sind dabei nicht durchweg identisch. Gemeinsam ist das numerische Vorgehen: geeignete Felder und Ansatzräume wählen, Elementbeiträge bestimmen und das resultierende System lösen. Je nach Anwendungsgebiet stehen unterschiedliche Feldgrößen im Mittelpunkt: In der Strukturmechanik werden Verschiebungen berechnet, aus denen sich Dehnungen und mechanische Spannungen ableiten lassen. Die Wärmeleitungssimulation liefert Temperaturverteilungen und macht damit beispielsweise Hotspots sichtbar. Bei der elektrischen Stromleitung dient das elektrische Potenzial als Ausgangspunkt, um Stromverteilung und ohmsche Verluste zu bestimmen. In der Elektrostatik lassen sich daraus Feldverteilungen etwa in Isolierungen berechnen. Magnetostatische Modelle beschreiben dagegen die Magnetfelder von Spulen oder Permanentmagneten und verwenden je nach Formulierung ein magnetisches Skalar- oder Vektorpotenzial.

Viele technisch interessante Größen werden erst aus der primären Lösung abgeleitet. Aus Verschiebungen entstehen über räumliche Ableitungen Dehnungen und über das Materialgesetz mechanische Spannungen. Aus dem Temperaturgradienten ergibt sich die Wärmeflussdichte. Bei der Elektrostatik wird das elektrische Feld aus dem Potenzial bestimmt. Die Genauigkeit der abgeleiteten Größe muss gesondert betrachtet werden. Eine scheinbar glatte Potenzial- oder Temperaturverteilung ist noch kein ausreichender Nachweis dafür, dass lokale Feldstärken oder Wärmeflussdichten bereits genau aufgelöst sind.

Elektromagnetische Felder

Die anschauliche Vorstellung „an jedem Knoten liegt ein unbekannter Wert“ lässt sich nicht unverändert auf alle elektromagnetischen Probleme übertragen. Für vektorielle Feldformulierungen werden häufig sogenannte Kantenelemente beziehungsweise Curl-Elemente verwendet. Diese ermöglichen beispielsweise bei der elektrischen Feldstärke stetige tangentiale Komponenten, ohne zugleich die Stetigkeit der Normalkomponente zu erzwingen. Das ist wichtig, weil die Normalkomponente des elektrischen Feldes an einer Materialgrenze mit unterschiedlicher Permittivität springen kann. Elektromagnetische FEM erfordert somit Ansatzfunktionen, die zu den jeweiligen Feldgleichungen und Übergangsbedingungen an Materialgrenzen passen.

Für die Elektronikentwicklung ist die Verbindung elektrischer, thermischer und mechanischer Modelle häufig relevant. Bei ohmscher Stromleitung entstehen elektrische Verluste, deren räumliche Verteilung aus der elektrischen Simulation bestimmt wird. Sie gehen als Wärmequelle in die thermische Berechnung ein. Das resultierende Temperaturfeld liefert anschließend die thermische Belastung für ein mechanisches Modell. Eine solche Kopplung bildet beispielsweise ab, wie sich ein stromdurchflossenes Bauteil erwärmt und verformt.

Dabei sind die Rückwirkungen entscheidend. Ändert sich die Leitfähigkeit mit der Temperatur, verändert das thermische Ergebnis wiederum die Stromverteilung und die elektrische Verlustleistung. Ob die Erwärmung unter gegebenen Betriebsbedingungen zunimmt oder begrenzt wird, hängt unter anderem von der elektrischen Anregung und der Wärmeabfuhr ab. Auch thermische Ausdehnung kann hier betrachtet werden.

Gekoppelte Felder können auf unterschiedliche Weise berechnet werden. Bei einer vollständig gekoppelten Lösung werden die Unbekannten gemeinsam in einem System behandelt. Bei einem segregierten Vorgehen werden Gruppen von Unbekannten nacheinander gelöst; die Ergebnisse werden zwischen den Teilproblemen ausgetauscht. Beide Ansätze können eine wechselseitige Kopplung berücksichtigen. Eine segregierte Lösung ist also nicht automatisch eine einseitige Kopplung. Entscheidend ist, ob die Teilprobleme wiederholt und bis zur erforderlichen Konvergenz miteinander abgeglichen werden.

Die gemeinsame Lösung kann bei starken Wechselwirkungen robuster sein, benötigt aber häufig mehr Speicher je Lösungsschritt. Eine Aufteilung reduziert die Größe der Teilsysteme, kann dafür zusätzliche Iterationen erfordern. Welche Strategie günstiger ist, hängt von Problemgröße, Kopplungsstärke und numerischer Formulierung ab. Eine einmalige Übergabe elektrischer Verluste an ein thermisches Modell ist dagegen eine einseitige Kopplung. Sie kann ausreichen, wenn die Temperatur das elektrische Verhalten nur unwesentlich beeinflusst. Diese Vereinfachung muss jedoch aus der Anwendung begründet werden.

Ein feineres Netz ist nicht genauer

Die Netzabhängigkeit wird durch eine Konvergenzstudie untersucht. Dazu wird die Berechnung mit zunehmend feinerer räumlicher Auflösung wiederholt. Beobachtet wird, wie stark sich die für die Entwicklung relevanten Größen verändern. Die Auswahl dieser Größen ist wesentlich. Eine mittlere Temperatur, eine Gesamtverformung oder ein integrierter Wärmestrom kann bereits stabil erscheinen, während ein lokales Maximum noch deutlich vom Netz abhängt. Die Konvergenz muss deshalb zur konkreten Fragestellung passen.

Neben der Verkleinerung der Elemente kann auch die Ansatzordnung erhöht werden. Diese Strategien werden als h- beziehungsweise p-Verfeinerung bezeichnet. Bei adaptiven Verfahren wird anhand von Fehlerschätzungen gezielt dort verfeinert, wo die aktuelle Näherung noch unzureichend ist. Das kann den Rechenaufwand gegenüber einer gleichmäßigen Verfeinerung reduzieren.

Eine besondere Grenze bilden Singularitäten. Idealisierte Punktlasten oder bestimmte scharfe Ecken können im mathematischen Modell zu unbegrenzt steigenden lokalen Spannungen führen. Bei weiterer Netzverfeinerung wächst dann der berechnete Spitzenwert, statt gegen einen endlichen Wert zu konvergieren.

Verifikation und Validierung

Zur Bewertung einer Simulation gehören zwei unterschiedliche Aufgaben. Die Verifikation untersucht, ob das mathematische Modell numerisch korrekt beziehungsweise hinreichend genau gelöst wird. Dazu dienen etwa Vergleiche mit analytischen Lösungen, geeigneten Referenzproblemen und Ergebnissen von Konvergenzstudien. Auch künstlich vorgegebene Lösungen können zur Prüfung eingesetzt werden: Aus einer gewählten Lösungsfunktion werden passende Quellen und Randbedingungen abgeleitet. Anschließend wird geprüft, ob das numerische Verfahren diese Lösung mit dem erwarteten Fehlerverhalten reproduziert.

Die Validierung untersucht dagegen, ob das Modell das reale Verhalten für den vorgesehenen Zweck ausreichend beschreibt. Dazu werden Simulation und Messung unter vergleichbaren Bedingungen gegenübergestellt. Für eine thermische Baugruppenanalyse bedeutet das beispielsweise, dass Verlustleistung, Kühlbedingungen und Kontaktverhältnisse zur Messung passen müssen. Eine geringe Abweichung an einem einzigen Messpunkt genügt nicht zwangsläufig, um die gesamte räumliche Temperaturverteilung zu bestätigen. Ebenso ist zu berücksichtigen, dass auch Messwerte Unsicherheiten besitzen. Eine belastbare Aussage entsteht deshalb aus dem Zusammenspiel von Modellprüfung, numerischer Fehlerbewertung und experimentellem Vergleich. Die farbige Ergebnisdarstellung allein liefert keinen dieser Nachweise.

Nicht für jede Aufgabe erste Wahl

Neben der FEM existieren weitere numerische Verfahren. Finite-Volumen-Methoden formulieren Bilanzen über Kontrollvolumina und sind insbesondere bei Strömungsaufgaben verbreitet. Ihre lokale Bilanzierung ist ein wesentlicher Vorteil. Auch FEM-Verfahren können Strömungen berechnen, benötigen je nach Problem jedoch geeignete Formulierungen und Stabilisierung.

Bei geeigneten Feldproblemen kann die Randelementmethode Vorteile bieten. Sie diskretisiert die Begrenzungsflächen statt des gesamten Volumens und ist unter anderem für bestimmte Außenraumprobleme interessant. Dafür gelten andere Anforderungen an die zugrunde liegenden Gleichungen, und die entstehenden Systeme besitzen andere Eigenschaften.

Für eine räumlich wenig aufgelöste Systembetrachtung können wiederum Ersatzschaltbilder oder thermische Netzwerke genügen. Eine detaillierte FEM-Berechnung ist besonders dann wertvoll, wenn lokale Geometrien, Materialübergänge oder Feldkonzentrationen das Verhalten bestimmen.

Detaillierte FEM-Modelle können für Variantenstudien, Optimierungen oder die laufende Zustandsbewertung zu rechenintensiv sein. Eine Möglichkeit zur Beschleunigung ist die Modellordnungsreduktion. Dabei wird das Verhalten eines großen Modells in einem wesentlich kleineren mathematischen System abgebildet. Solche reduzierten Modelle können die Grundlage für Anwendungen bilden, in denen sehr schnelle Vorhersagen benötigt werden. Auch datenbasierte Ersatzmodelle können aus Simulationsergebnissen Zusammenhänge zwischen Eingangsparametern und Ergebnisgrößen lernen.

Seit ihren frühen Anwendungen hat sich die FEM zu einem vielseitigen Werkzeug entwickelt. Für die Elektronik liegt ihr besonderer Nutzen darin, elektrische Funktion, Wärmeverteilung und mechanische Belastung gemeinsam untersuchen zu können. Belastbare Entwicklungsentscheidungen entstehen aber aus Modellierung, Diskretisierung, Validierung und dem Systemverständnis. (mr)

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