Praktische Verfahren zum Auswerten von Messdaten

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Fertige DFT-Algorithmen für die Auswertung der Messdaten

X(f_k ) ist zunächst eine komplexe Funktion, in der Praxis verwendet man ausschließlich die Betragsfunktion |X(f_k )| („Amplitudenspektrum“). Diese wird dann oftmals für ein k im Bereich -N/2 bis +N/2 gezeichnet, wobei der Graph in seiner linken Hälfte ein Spiegelbild der rechten ist. Stellen die x_i Spannungswerte dar, also in der Einheit [V], so weist X(f_k) die Einheit [V/Hz] auf, stellt also eine spektrale Dichte dar.

Enthält das Signal periodische Signalanteile (Sinusanteile), möchte man bei den entsprechenden Frequenzen oftmals deren konkrete Amplitude aus dem Spektrum herauslesen. Das ist zumindest näherungsweise möglich, indem man X(f_k ) mit der Grundfrequenz („Frequenzauflösung“) 1/(NT_A) aus Formel 7 multipliziert, die spektrale Dichte also wieder in eine Spannung überführt. Bei fertigen Funktionsbausteinen, die T_A meist nicht in die Berechnung einfließen lassen, ist nur noch durch N zu dividieren.

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Auf exakte Amplitudenwerte im Signal schließen

Verschiedene Tools, um die Messdaten auszuwerten, verfügen meist über fertige DFT-Algorithmen, die auch als FFT bezeichnet werden. Hierbei handelt es sich lediglich um eine Rechenzeit sparende Variante der Implementierung nach Formel 8, die genau dieselben Ergebnisse liefert. Der Original-FFT-Algorithmus funktioniert ausschließlich, wenn die Länge N der übergebenen Abtastfolge eine Potenz von 2 ist. Viele FFT-Algorithmen füllen Abtastfolgen, die nicht diesen Kriterien entsprechen, mit Nullen auf oder schneiden diese entsprechend ab.

Das Bild 3 zeigt das Ergebnis einer DFT-Berechnung jeweils für ein Sinussignal und einen Rechteckimpuls. Es galt dabei T_A = 0,01 s und N = 100. Speziell beim Sinussignal ist zu erkennen, dass der Wert des Gleichanteils (hier eine Spannung von 1 V) im Spektrum bei der Frequenz 0 richtig angezeigt wird; die Amplitude des Sinussignals (ebenfalls 1 V) wird bei der Signalfrequenz (10 Hz) sowie deren negativen Spiegelfrequenz (-10 Hz) mit jeweils der Hälfte angezeigt, was gemäß den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation auch so sein muss. Um auf exakte Amplitudenwerte von Sinusanteilen in einem Signal zu schließen, muss man also - wenn man wie üblich auf dem Bildschirm nur das Amplitudenspektrum für die positiven Frequenzen darstellt - gedanklich noch mit dem Faktor 2 multiplizieren.

Bei kontinuierlichen Signalen werden im Zeitfenster die N Signalwerte „hart“ herausgeschnitten. Das ist mit gewissen Fehlern im Spektrum verbunden. Diese lassen sich minimieren, indem die Signalwerte an den Rändern des Zeitfensters mit geeigneten Fensterfunktionen stark gedämpft in die Berechnung einfließen.

Quellenangabe:

Jörg Böttcher: Kompendium Messdatenerfassung und -auswertung. ISBN 978-3-7386-2255-3 (Paperback) bzw. ISBN 978-3-7392-7714-1 (E-Book), Verlag: Books on Demand.

* Prof. Dr.-Ing. Jörg Böttcher hat eine Professur für Regelungstechnik und Elektrische Messtechnik an der Universität der Bundeswehr in München inne.

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