Effiziente Filterlösungen Aktive Filterschaltungen – Teil 2

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Aktive Filter sorgen in unterschiedlichsten Anwendungen wie Signalverarbeitung, Audiotechnik oder Schaltnetzteilen für präzise Steuerung und Signalqualität. Doch wie funktionieren diese?

Im ersten Teil dieser Artikelreihe ging es um die grundlegenden Filtertypen sowie deren praktische Einsatzmöglichkeiten. Es wurden die Funktionsweise und die Frequenzgänge aktiver Tiefpass-, Hochpass-, Bandpass- und Bandsperrfilter im Detail analysiert. Nun Teil 2:

Was macht den Bandpass und die Bandsperre zu einem Filtersystem zweiter Ordnung?

Filter zweiter Ordnung enthalten zwei reaktive Bauteile, nämlich die Kondensatoren, die den Frequenzgang des Filters beeinflussen. Reaktive Bauteile in der Schaltung, beispielsweise zwei hintereinander geschaltete Filter erster Ordnung, verdoppeln den Roll-Off der Verstärkung auf -40dB/Dekade.

Filter zweiter Ordnung sind ein weiterer wichtiger Typ von aktiven Filtern, da sie zusammen mit den aktiven RC-Filtern erster Ordnung als Funktionsblöcke für das Design von Filterschaltungen höherer Ordnung verwendet werden. Filter zweiter Ordnung werden auch als VCVS-Filter (Voltage Controlled Voltage Source) bezeichnet, da der Operationsverstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle dient.

Es gibt eine Vielzahl von Filterkonfigurationen zweiter Ordnung. Beispielsweise Butterworth, Tschebyscheff, Bessel und Sallen-Key. Ein Sallen-Key-Filter ist aufgrund seiner Einfachheit eines der beliebtesten Filterdesigns zweiter Ordnung. Es benötigt nur vier passive RC-Bauteile zur Frequenzabstimmung und nur einen Operationsverstärker für die Verstärkungsregelung.

Sallen-Key-Tiefpass zweiter Ordnung

Bild 1 zeigt die Grundkonfiguration eines Sallen-Key-Tiefpassfilters zweiter Ordnung. Die Filterschaltung besteht aus zwei RC-Netzwerken, R1/C1 und R2/C2, die dem Filter seine Frequenzgang-Eigenschaften verleihen. Die Netzwerke bestimmen die Grenzfrequenz fc des Filters. Diese lässt sich mit Gleichung (1) berechnen.

Das Filterdesign basiert auf einer nicht-invertierenden Verstärkerkonfiguration. Daher verwendet man die Formel, die auch schon in Teil 1 verwendet wurde (Gleichung (2)).

Ein weiteres Konzept, das bereits untersucht wurde, ist der Qualitätsfaktor Q (Q-Faktor), ähnlich wie bei den Bandpass- und Bandsperrfiltern, die Systeme zweiter Ordnung sind. Der Sallen-Key-Qualitätsfaktor Q lässt sich mit Gleichung (3) berechnen.

Der Q-Faktor und die Dämpfung des Systems stehen in einer engen mathematischen Beziehung zueinander. Die Beziehung zwischen Dämpfung und Q-Faktor lässt sich unter folgenden Bedingungen zusammenfassen:

• Bei Q > ½ ist der Filter unterdämpft. Filter, bei denen der Q-Faktor nur etwas mehr als ½ beträgt, können ein- oder zweimal schwingen, genau wie der aktive Tiefpassfilter in Bild 1 mit Q = 1.

• Bei Q < ½ ist der Filter überdämpft. Der Frequenzgang des Filters weist kein Überschwingen auf und verläuft lang und flach.

• Bei Q = ½ ist der Filter kritisch gedämpft. Die Antwort des Filters nähert sich einem stabilen Zustand ohne Überschwingen.

Die Beziehung zwischen Q und A ist ein entscheidender Faktor bei Sallen-Key-Filterkonfigurationen, stellt aber auch eine Einschränkung für diese Konfiguration dar. Q muss größer als ½ sein, da A größer als 1 sein muss.

Sallen-Key-Hochpass zweiter Ordnung

Betrachtet wird nun die Sallen-Key-Konfiguration eines Hochpassfilters (Bild 2). Die Konfiguration entspricht der Tiefpass-Konfiguration mit dem Unterschied, dass die Positionen der Widerstände und Kondensatoren vertauscht sind. Sallen-Key-Filter zweiter Ordnung werden auch als positive Rückkopplungsfilter bezeichnet, da das Ausgangssignal auf den positiven Anschluss des Operationsverstärkers zurückgeführt wird.

Sallen-Key-Bandpass

Die Bandpass-Konfiguration des Sallen-Key-Filters hat eine gravierende Einschränkung. Der Q-Faktor bestimmt die Verstärkung des Filters. Das heißt, sie kann nicht unabhängig eingestellt werden, wie dies bei Tiefpass- oder Hochpass-Filtern möglich ist. Die Spannungsverstärkung Av wird mit Gleichung (4) berechnet.

Bild 3 zeigt die Konfiguration des Sallen-Key-Bandpassfilters zweiter Ordnung.

Es ist auch möglich, einen Sallen-Key-Sperrfilter zu entwickeln, jedoch hat dieser unerwünschte Eigenschaften. Die Resonanzfrequenz beziehungsweise die Kerbfrequenz kann aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Bauteilen nicht einfach angepasst werden.

State-Variable-Filter

Eine Zustandsvariablenfilter-Konfiguration (State-Variable-Filter) ermöglicht eine sehr genaue Filterung, benötigt aber wesentlich mehr Bauteile als andere Lösungen. Alle drei Hauptparameter des Filters (Verstärkung, Q und fr) können unabhängig voneinander eingestellt werden, und es stehen gleichzeitig Tiefpass-, Hochpass- und Bandpass-Ausgänge zur Verfügung.

Mit dem Zustandsvariablenfilter können Kerbfilter (Notch-Filter) und Allpass-Filter realisiert werden. Durch eine zusätzliche Verstärkerstufe, die den Tiefpass- und Hochpassbereich summiert, kann auch die Kerbfilterfunktion erzeugt werden. Ein Allpass-Filter ist auch mit der Vier-Verstärker-Konfiguration realisierbar. Dazu wird das Bandpass-Ausgangssignal vom Eingangssignal subtrahiert. Bild 4 zeigt die zustandsvariable Filterschaltung, die gleichzeitig Tiefpass-, Hochpass- und Bandpasssignale liefert. Die Resonanzfrequenz eines zustandsvariablen Filters lässt sich abstimmen, indem man R4 und R5 verändert. Es ist nicht zwingend erforderlich, beide Widerstände zu verändern, aber es ist empfehlenswert, über einen großen Bereich zu variieren. Wenn der Wert von R1 konstant bleibt, wird mit R7 die Tiefpassverstärkung und mit R2 die Hochpassverstärkung eingestellt. Bandpassverstärkung und Q werden durch das Verhältnis von R3 zu R7 festgelegt.

Zu beachten ist, dass die Tiefpass- und Hochpassausgänge in der Phase invertiert sind, während der Bandpassausgang die Phase beibehält.

Tow-Thomas-Filter

Ein weiteres Beispiel für einen aktiven Filter zweiter Ordnung ist der Tow-Thomas-Filter. Dieser wird auch als biquadratischer oder Biquad-Filter bezeichnet (Bild 5). Der Tow-Thomas-Filter ist wie der zustandsvariable KHN-Filter (Kerwin-Huelsman-Newcomb) abstimmbar. Über R3 lässt sich der Q-Faktor ändern, über R4 die Resonanzfrequenz und über R1 die Verstärkung.

Um die Auswirkungen der Interaktion der Komponentenwerte zu minimieren, sollte zuerst die Resonanzfrequenz, dann die Güte und schließlich die Verstärkung eingestellt werden. Die Bandbreite des Tow-Thomas-Filters wird mit Gleichung (5) berechnet.

Bei näherer Betrachtung ist die Tow-Thomas-Filterkonfiguration eine geringfügig umgestaltete Variante des Zustandsvariablenfilters. Das Tow-Thomas-Filter hat keinen separaten Hochpass-Ausgang, sondern erzeugt zwei Tiefpass-Ausgänge: einen in Phase und einen Gegenphasigen. Außerdem gibt es einen Bandpass-Ausgang, dessen Phase invertiert ist (Bild 5).

Durch Hinzufügen eines vierten Verstärkers zur Filterkonfiguration in Bild 5 lassen sich Hochpass-, Kerb- oder Allpassfilterfunktionen erzeugen. Ein Allpassfilter verschiebt das Ausgangssignal der Schaltung, während die Amplitude des Signals unangetastet bleibt. Der Verstärkungsfaktor beträgt für alle Frequenzen Eins.

Doppel-T-Filter (Twin-T Notch-Filter)

Die Schaltung in Bild 6 zeigt einen Doppel-T-Filter. Dieser kommt als universelle Kerbschaltung (schmalbandiger Bandsperrfilter) zum Einsatz. Man erinnere sich: ein Bandsperrfilter dämpft und sperrt Frequenzen zwischen seiner unteren und oberen Grenzfrequenz.

Die Doppel-T-Kerbfilterschaltung besteht aus zwei T-förmigen Netzwerken: Einem RCR-T-Netzwerk und einem CRC-T-Netzwerk. Die Widerstände R1 und R2 bilden zusammen mit dem Kondensator C3 das RCR-T-Netzwerk. Die Kondensatoren C1 und C2 bilden zusammen mit dem Widerstand R3 das CRC-T-Netzwerk. Die Werte der Bauteile ergeben sich aus Gleichung (6) und Gleichung (7).

Man beachte die Werte von R und C, da diese die Kerbfrequenz \( f_0 \) des Filters bestimmen. Die Berechnung der Kerbfrequenz erfolgt mit der folgenden Gleichung (8):

Diese Gleichung stellt die Frequenz dar, bei der das Filter seine maximale Dämpfung aufweist.

In seiner passiven Implementierung hat das Doppel-T-Sperrfilter einen festen Q-Wert von 0,25. Eine positive Rückkopplung zum Referenzknoten kann das Problem beheben. Dazu wird ein Spannungsteiler mit R4 und R5 an den Ausgang des Filters geschaltet und mit einem Spannungsfolger verbunden. Dann wird der Ausgang des Spannungsfolgers zurück an die Verbindung von R3 und C3 geführt.

Die Signalrückkopplung erfolgt über die Widerstände R4 und R5, die sowohl den Gütefaktor Q des Filters als auch die Tiefe der Kerbe (Notch-Tiefe) bestimmen. Q ergibt sich aus Gleichung (9).

Um die maximale Notch-Tiefe (Sperrdämpfung) zu erreichen, müssen die Widerstände R4 und R5 zusammen mit dem an sie angeschlossenen Operationsverstärker entfernt und die Verbindung zwischen R3 und C3 direkt mit dem Ausgang verbunden werden. (mr)

Effiziente Filterlösungen

Aktive Filterschaltungen – Teil 1

* Antoniu Miclaus ist System Applications Engineer bei Analog Devices, Doug Mercer ist Consulting Fellow bei Analog Devices

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