Wärmemanagement Wer waren Preece und Onderdonk?

Wird eine relativ schmal ausgeführte Leiterbahn auf der Leiterplatte bei einem Systemfehler extrem überlastet, muss sie für eine kurze Zeit intakt bleiben. Der Artikel leitet her, welche Leiterbahnbreite man dazu (schätzungsweise) braucht.

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Bei etlichen elektrischen Schaltungen auf Leiterplatten, die extrem leistungsfähig und und kompakt sein müssen, ist das Power- und Kühlungsmanagement eine wichtige Designaufgabe. Die Designrichtlinie IPC 2152 (“Standard for Determining Current Carrying Capacity in Printed Board Design”) [1] war ein wichtiger Schritt, um den Entwickler in diesem Bereich zu unterstützen. Aber es gibt etliche Aspekte, die aus dem Rahmen der 2152 fallen: Multilayer und extrem hohe Ströme.

Betrachten wir z.B. eine Situation, in der im Normalbetrieb die Leiterbahn einen moderaten Strom leitet und deshalb eher schmal ausgeführt ist. Bei einem katastrophalen Systemfehler soll diese Leiterbahn erheblich mit Strom überlastet sein. Es ist nun sehr wichtig, dass die Leiterbahn für eine kurze Zeit intakt bleibt (z.B. eine oder zwei Sekunden), damit das System einen ordentlichen und kontrollierten Abschaltungsmodus durchführen kann. Es reicht vollkommen, wenn die Leiterbahn nur für kurze Zeit diesen Überlaststrom leitet ohne zu schmelzen oder das FR4 zu verkohlen. Die Frage ist also: welche Leiterbahngröße brauchen wir (schätzungsweise)?

Der Maximalstrom, den die Leiterbahn leiten kann, bevor sie schmilzt, wird im englischen “fusing current” genannt (dt. etwa Auslösestrom). Die ersten Personen, die im Rahmen von Untersuchungen von Kupferleitungen damit in Verbindung gebracht werden, sind W. H. Preece und I. M. Onderdonk. Dieser Artikel handelt also von Preece und Onderdonk, von dem, was sie (mutmaßlich) motivierte und was die Grundlagen ihrer Arbeiten waren. Darüber hinaus – weil eine Originalveröffentlichung von Onderdonk nicht existiert – skizzieren wir, wie seine bekannte Gleichung abgeleitet werden kann.

W. H. Preece – der Mann vom Telegrafenamt

Sir William Henry Preece war während der 1880er Jahre als Beratungsingenieur für das British General Post Office tätig. Seinerzeit war das Post Office für das Telegraphensystem (und später die drahtlose Übertragung) in England verantwortlich. Er veröffentlichte damals drei Aufsätze in den Proceedings of the Royal Society of London, die die Grundlage für seine berühmte Gleichung

sind. d ist dabei der Durchmesser eines Drahtes (in inch), a eine Konstante (10244 für Kupfer) und I ist der Auslösestrom (in Ampère). Mit ein kleinwenig Algebra kann diese Gleichung in Bezug auf die Querschnittsfläche A (in inch²) umgeschrieben werden (Gleichung 2): I = 12244 ∙ A^3/4.

Bis vor kurzem war es sehr schwierig, Kopien der drei Arbeiten zu bekommen. Aber in den vergangenen Jahren hat die Royal Society ihre Archive online gestellt [2]. Der erste der Artikel, erschienen 1883, stellt das Problem vor, welches Preece interessierte. Den Koeffizient für Kupfer (10244) findet man im dritten Artikel (erschienen im Jahr 1888).

I. M. Onderdonk – das große Rätsel

Uns ist kein Originaldokument für Onderdonks Gleichung bekannt. Wer I. M. Onderdonk war, bleibt ein Rätsel! Der erste Verweis auf ihn, den wir gefunden haben, ist ein Aufsatz von E. R. Stauffacher von 1928 in der General Electric Review [3]. Damals war Stauffacher Superintendent of Protection bei Southern California Edison. Jener Artikel zitiert Onderdonks Gleichung für eine Referenztemperatur von 40 °C folgendermaßen (Gleichung 3):

Ein späterer Artikel lieferte eine allgemeinere Formulierung (Gleichung 3a):

Hierbei sind: I = Stromstärke in Ampère; A = Querschnittsfläche in circular mils (Anmerkung 1); S = Zeit bis zur Schmelze in Sekunden; t = der Temperaturanstieg ab Referenzemperatur in Grad Celsius; T_a = Referenztemperatur in °C (Bemerkung 2).

Ein algebraischer Vergleich von Preece mit Onderdonk zeigt, dass beide Gleichungen im Wesentlichen das Gleiche liefern. Der Vorteil von Onderdonks Gleichung ist, dass sie die Zeit als Variable enthält. Daraus können wir also für jeden Leiter den „Auslösestrom“ aus der Zeit, die der Leiter überleben muss, und der Schmelztemperatur berechnen (mit einigen Einschränkungen s.u.).

Die Motivation von Preece und Onderdonk

Die Motivation von Preece und Onderdonk war ähnlich. Preece beschreibt sie deutlich in seinem Aufsatz aus dem Jahr 1883: Er befasste sich mit Effekten, die ein Blitzschlag in einem Telegrafensystem auslösen kann. Zum Schutz der Einrichtung hatten sie eine Frühform eines Blitzableiters mit einem Verbindungsdraht, der als Sicherung diente, kombiniert. Preece wollte herausfinden, was der beste Werkstoff und die beste Größe für diesen Verbindungsdraht wäre, sodass er unter normalen Bedingungen den Strom für die Telegrafie leiten kann, aber unter Blitzschlag schmelzen muss. Auf experimentellem Weg schloss er: “the best metal to use for small diameters was platinum, and for large wires tin” (1887). Schließlich gab er 1888 seine Konstanten für viele Werkstoffe, einschließlich Kupfer, an.

Da Stauffachers Artikel unserer Kenntnis nach der erste Hinweis auf Onderdonk ist, ist es verlockend zu spekulieren, dass er mit Onderdonk wissenschaftlich oder beruflich verbunden war. Möglicherweise war Onderdonk ebenfalls ein Angestellter bei SCE. Stauffachers Artikel beschreibt das Problem eines Kurzschlusses an einem Isolator in einer Hochspannungsfernleitung. Das Onderdonk zugeschriebene Nomogramm in diesem Artikel passt von den Skalen her zu dieser Art von Fragestellungen. Die Kupferdrähte um die Isolatoren und die Pole mussten den Kurzschlussstrom lange genug aushalten, um das automatische Abschalten der Starkstromleitung abschließen zu können.

Ableitung der Gleichungen

Es gibt keine Originalveröffentlichung für die Onderdonk-Gleichung. Deshalb haben sich die Autoren die Aufgabe einer Wiederherleitung gestellt. (Anm. d. Ü.: Vollständige Abhandlungen findet man in [4] und [5]). Wir skizzieren hier die Bestandteile, Annahmen und Risiken.

Schritt 1: Die Joule‘sche Energie, die durch den elektrischen Strom in den Leiter eingebracht wird, ist R ∙I²∙ Δt, wobei R [Ohm] der Widerstand, I [Ampère] der Strom und Δt [Sekunde] die Zeitdauer der Heizung sind. Wir nehmen an (müssen annehmen), dass keine Kühlung (Wärmeabfuhr) durch Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung erfolgt, sodass Δt sehr kurz sein muss.

Der Widerstand R einer Leiterbahn setzt sich aus Länge und Querschnitt und einem spezifischen Materialwert zusammen. Wesentlich ist, dass der Temperaturkoeffizient des spezifischen elektrischen Widerstands mit berücksichtigt werden muss: R steigt in der üblichen Schreibweise R(T) = R(T*)∙(1+α*∙(T – T*)) linear mit der Temperatur an. T* ist eine willkürlich gewählte Ankertemperatur (üblicherweise in Tabellen für 20 °C zu finden).

Schritt 2: Die elektrische Energie, die dem Leiter zugeführt wird, wird zu 100% zur Erhöhung der Wämemenge c_p ∙ M ∙ (T – T_A) verwendet (innere Energie), mit der spezifischen Wärmekapazität cp [J/kg-K] und der Masse des Leiters M [kg], die zu einer Temperaturerhöhung (T – T_A) führt. Es ist keine Wärmeabgabe vorgesehen (adiabatische Näherung). T_A ist entweder die Leitertemperatur zu Beginn des Kurzschlusses oder die Temperatur eines kalten Leiter (dann gleich Umgebungstemperatur; Anm. 2). T_A hat Einfluss auf das Ergebnis und ist auch die Referenztemperatur für die Widerstandsgerade.

Schritt 3: Die Joule‘sche Energie und die thermische Energieerhöhung werden gleichgesetzt. Δt wird in ein Differential dt überführt, ebenso der relative Temperaturanstieg Θ = T – T_A. Das ergibt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für Θ nach der Zeit, die direkt gelöst werden kann [5].

Schritt 4: Dieser Schritt ist sehr technischer Natur und hängt damit zusammen, dass der üblicherweise verwendete Steigungskoeffizient α* im elektrischen Widerstand R(T) keine eigentliche Konstante ist. Die richtige Steigung ist nämlich R(T*) ∙ α* [Ohm/K] und diese ist eine Konstante für ein Metall und (fast) alle Temperaturen. Praktischerweise wählt man: Ankertemperatur T* gleich Referenztemperatur T_A, man muss dann aber das α* auf ein α_A umrechnen. Das alles, zusammen mit „modernen“ Materialwerten für Kupfer

α₂₀ = 0,00393 1/K,

ρ₂₀ = 1,75 10^-8 Ohm m²/m,

c_p = 385 J/kgK und

ρ = 8900 kg/m³,

der Umwandlung des natürlichen Logarithmus in einen dekadischen und mit 1 m² =1,98 10⁹ circ-mils, ergibt dann tatsächlich das Onderdonk-Ergebnis aus Gleichung 3a:

(Bem: 234 ist 1/α für Ankertemperatur 0°C).

Andere Einheiten umrechnen

Wir wollen eigentlich bis zur Schmelztemperatur von Kupfer bei 1083 °C aufheizen und fragen, wie lange das dauert. Die Antwort erhält Gleichung 5 nach Umstellen von Gleichung 4 (in circular mils):

bzw.

t = c ∙ (A/I)2 (Gl. 6)

Tabelle 1 zeigt den Koeffizienten c für unterschiedliche Starttemperaturen TA und Querschnittsflächen A gemessen in U.S. Einheiten und mm².

Vorsicht bei den Zeiten

Es gibt zwei Zeitspannen, über die wir beim Schmelzstrom sprechen können. Die erste ist die Zeit bis zum Erreichen der Schmelztemperatur. Die zweite ist die Zeit inklusive des wirklichen Aufschmelzens. Die Literatur macht hier keine genauen Angaben, was gemeint ist. Aber es wird beim Lesen von Preeces Artikeln und der Ableitung der Onderdonk-Formel klar, dass die erstere gemeint sein muss.

In Schritt 2 haben wir ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es keine Kühlung des Leiters geben soll (innerhalb der Kurzschlussphase). In Wirklichkeit erfolgt immer eine Kühlung, auch auf kurzen Zeitskalen.

Wenn wir Kühlung zulassen, dauert es länger, bis die Schmelztemperatur erreicht wird, und der Strombedarf ist höher. Die Onderdonk-Gleichung ist nur für sehr kurze Zeiten gültig. Die Arbeiten, die Onderdonk zitieren, sprechen von nicht länger als 10 s. Adam [5] argumentiert, dass die Zeit sehr viel kürzer sein muss, möglicherweise unter einer Sekunde.

Anmerkungen:

1. Ein circular mil ist die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser von 1 mil (=1/1000 inch = 0,0254 mm). Die Vorschrift ist A = d². Die Umwandlung von circular mils zu mil² braucht ein π/4. Übliche Umwandlungen sind:

1 mil² = 1,273 circular mils,

1 circular mil = 0,7854 mil²,

1 m² = 19,736 108 circular mil,

1 circular mil = 5,067 10^–10 m² = 5,067 10^–4 mm².

2. Vom Standpunkt der Ingenieursthermodynamik gibt es einen großen Unterschied zwischen der Umgebungstemperatur und der Anfangstemperatur der Aufheizkurve. Zum Beispiel kann sich bei Normalstrom der Leiter bereits über die Umgebungstemperatur erwärmt haben, bevor der Kurzschlussstrom eintritt. Da die Umgebungstemperatur hier nicht über eine Kühlbeziehung in diesen Ableitungen auftaucht (adiabatische Annahme), kann – je nach Kontext – jede der beiden Größen in Gleichung 5 eingesetzt werden.

3. Für eine komplette Ableitung verweisen wir auf [4] und [5]. [4] enthält die Stauffacher-Onderdonk-Funktionen. [5] enthält auch die Abschätzungen über die Zeitskalen der Kühlung und eine Funktion von Θ(t).

4. A.d.Ü.: Frühe Arbeiten in Deutschland im Literaturzitat [21] gibt es unter diesem Link. Eine zu Gleichung 4 analoge Lösung inklusive Kühlung wurde vom Autor ebenfalls abgeleitet (nicht-adiabatisch). Interessierte Leser dürfen sich gerne an ihn wenden. //

Literatur

[1] IPC-2152, “Standard for Determining Current Carrying Capacity in Printed Board Design,” August, 2009, www.IPC.org

[2] Preece, W. H.: “On the Heating Effects of Electric Currents”, Proc. Royal Society 36, 464-471 (1883). No. II, 43, 280-295 (1887). No. III, 44, 109-111 (1888). Diese Dokumente wurden in den letzten Jahren online gestellt:

http://rspl.royalsocietypublishing.org/content/36/228-231/464.full.pdf+html

http://rspl.royalsocietypublishing.org/content/43/258-265/280.full.pdf+html

http://rspl.royalsocietypublishing.org/content/44/266-272/109.full.pdf+html

oder bei www.ultracad.com/articles/reprints/preece.zip

[3] Stauffacher, E. R.:“Short-time Current Carrying Capacity of Copper Wire,” General Electric Review, Vol 31, No 6, June 1928 (Download einer Kopie bei http://www.ultracad.com/articles/reprints/stauffacher.pdf )

[4] Adam, J., Brooks, D.:, “In Search of Preece and Onderdonk,” available in the “Articles” section at www.ultracad.com/articles/preece.pdf )

[5] Adam, J.: “The Adiabatic Wire: ‘Onderdonk,’ ”White paper No.10 at www.adam-research.de/pdfs/TRM_WhitePaper10_AdiabaticWire.pdf

Übersetzt aus dem amerikanischen und gekürzt von Johannes Adam. Originalartikel: „Who were Preece and Onderdonk“, erschienen in http://pcdandf.com/pcdesign/index.php/magazine/10179-pcb-design-1507 (Juni 2015).

* * Dr. Douglas Brooks ... ist President von UltraCAD Design in Kirkland, USA. * Dr. Johannes Adam ... ist Inhaber von ADAM Research in Leimen.

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