Welche Filtertypen sich für das Anti-Aliasing eignen

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Abtastende Systeme und der Aliaseffekt

Zur Verdeutlichung stellen wir uns vor, dass das sich drehende Rad mit einer deutlich sichtbaren Markierung versehen ist und in regelmäßigen Zeitabständen fotografiert wird. Da eine Filmkamera nichts anderes tut, als mehrmals in der Sekunde ein Bild aufzunehmen, ist sie im Prinzip ebenfalls ein abtastendes Datensystem. Ebenso wie die Kamera diskrete Bilder des Rades aufnimmt, fertigt ein A/D-Wandler eine Abfolge von Momentaufnahmen eines sich kontinuierlich ändernden Signals an.

Wenn sich der Wagen in Bewegung setzt und sein Tempo langsam erhöht, ist die Abtastrate (also die Bildrate der Filmkamera) zunächst deutlich größer als die Drehrate des Rades. Das Nyquist-Kriterium wird also erfüllt, denn die Abtastrate der Kamera ist größer als das Doppelte der Drehrate des Rades. Die Bewegung des Rades wird folglich originalgetreu wiedergegeben und man sieht, wie sich das Rad erwartungsgemäß immer schneller dreht (Bilder 1a und 1b).

An der Nyquist-Grenze allerdings sehen wir zwei um 180° versetzte Punkte (Bild 1c), die vom menschlichen Auge in der Regel zeitlich nicht unterschieden werden können. Sie erscheinen somit gleichzeitig und das Rad scheint stillzustehen. Wenn sich das Rad so schnell dreht, ist aufgrund der Abtastrate die Raddrehzahl bekannt, aber die Drehrichtung lässt sich nicht bestimmen. Beschleunigt der Wagen jetzt weiter, ist das Nyquist-Kriterium nicht mehr erfüllt und es gibt zwei Möglichkeiten, das Rad zu sehen: während sich eines vorwärts dreht, scheint sich das andere in der entgegengesetzten Richtung zu drehen (Bild 1d).

Je nachdem, wie man das Rad ‚sieht‘, können beide scheinbaren Drehrichtungen als korrekt betrachtet werden. Das Signal unterliegt jedoch jetzt einem Alias-Effekt, d.h. es enthält eine unerwünschte Frequenzkomponente, die vom wirklichen Signal nicht unterschieden werden kann. Es ist sowohl die Vorwärts-, als auch die Rückwärts-Komponente vorhanden, doch sehen wir üblicherweise nur die Rückwärts-Komponente bzw. den Teil oder das Abbild der Vorwärts-Komponente. Die primäre Vorwärts-Komponente nämlich wird aufgrund der Art und Weise, wie unsere Augen und unser Gehirn die Daten verarbeiten, unsichtbar.

Interessant ist ferner die Tatsache, dass an jenem Punkt, an dem Abtastrate und Drehrate exakt gleich sind, aus den Daten überhaupt keine sinnvollen Informationen entnommen werden können, weil die Markierung immer an der gleichen Stelle erscheint. In diesem Fall kann man also nicht sagen, ob das Rad stillsteht oder sich dreht.

Kurze mathematische Betrachtung des Aliasing

Jetzt soll das Ganze mathematisch betrachtet werden. Wir nehmen dazu an, das Rad sei ein Einheitskreis mit Sinus- und Cosinuswerten als Koordinaten. Erfolgt die Abtastung bei den Maxima und Minima der Sinus- und Cosinuswerte (die um 180° phasenversetzt sind), ist das Nyquist-Kriterium erfüllt, und der ursprüngliche Cosinuswert kann aus den beiden abgetasteten Datenpunkten rekonstruiert werden. Die Nyquist-Grenze ist somit entscheidend für die Wiederherstellung des Originalsignals. Je mehr Punkte hinzugefügt werden, umso besser lässt sich das ursprüngliche Signal rekonstruieren.

Nun zur Betrachtung im Frequenzbereich: Bild 2 gibt den Frequenzgang eines abtastenden Datensystems wieder. Wie man sieht, wiederholen sich die Daten jeweils bei Vielfachen der Abtastrate (es handelt sich hier um Abbilder des ursprünglichen Signals). In Bild 2a ist das Nyquist-Kriterium erfüllt und es kommt zu keinem Aliasing im interessierenden Frequenzband. In Bild 2b dagegen ist das Nyquist-Kriterium nicht erfüllt, da die höchste Frequenzkomponente des interessierenden Bandes größer als die Hälfte der Abtastrate ist. Im Überlappungsbereich kommt es zum Aliasing: ein Signal mit der Frequenz f_T erscheint – ähnlich wie beim Beispiel des Wagenrads – auch bei f_T‘.

Was man mit Unterabtastung erreichen kann

Das Undersampling (Unterabtastung) ist ein wirkungsvolles Werkzeug, das in bestimmten Anwendungen effektiv genutzt werden kann. Ein A/D-Wandler kann auf diese Weise als Mischer fungieren und aus einem modulierten hochfrequenten Trägersignal ein Abbild mit einer niedrigeren Frequenz erzeugen. Der Wandler verhält sich hier wie ein Abwärtswandler.

Ein weiterer wichtiger Vorteil ist die Möglichkeit, den A/D-Wandler mit einer Abtastrate zu betreiben, die unter der Nyquist-Grenze liegt, was in der Regel erhebliche Kostenvorteile bietet. Hierzu sei ein modulierter 10-MHz-Träger mit einer Bandbreite von 100 kHz (±50 kHz zentriert auf 10 MHz) angenommen.

Bei der Unterabtastung mit 4 MHz entstehen die Summen- und Differenzterme erster Ordnung (f1 + f2 und f1 - f2) von 14 MHz und 6 MHz sowie die Terme zweiter Ordnung (2f1, 2f2, 2f1 + f2, f1 + 2f2, | 2f1 - f2 |, | f1 - 2f2) | von 8 MHz, 20 MHz, 18 MHz, 2 MHz, 24 MHz und 16 MHz. Von Interesse ist das auf eine Frequenz von 2 MHz gespiegelte Signal. Aus dem ursprünglichen 10-MHz-Signal wurde durch Digitalisierung ein Abbild bei 2 MHz erzeugt, aus dem durch Weiterverarbeitung (Filtern und Mischen) im digitalen Bereich das Originalsignal von 50 kHz extrahiert werden kann (Bilder 3 a und 3b).

Der große Vorteil dieser Vorgehensweise besteht darin, dass man sich umfangreiche Signalverarbeitungs-Operationen im analogen Bereich erspart. Weil stattdessen alle Operationen im digitalen Bereich erfolgen, muss lediglich die Software verändert werden, wenn die Leistungsfähigkeit und die Eigenschaften der Schaltung modifiziert werden sollen. Bei einer analogen Schaltung dagegen wäre es unter Umständen notwendig, die Schaltungs-Hardware und das Layout zu überarbeiten, was recht hohe Kosten verursachen kann.

Ein Nachteil des Undersamplings besteht darin, dass im interessierenden Frequenzbereich unerwünschte Signale erscheinen können, die sich nicht vom gewünschten Signal unterscheiden lassen. Außerdem ist beim Undersampling der am ADC-Eingang liegende Frequenzbereich sehr breit. Im soeben genannten Beispiel etwa muss die ADC-Eingangsstufe trotz der nur 4 MHz betragenden Abtastrate ein Signal von 10 MHz erfassen.

Würde man stattdessen dem A/D-Wandler einen analogen Mischer voranschalten, der den modulierten Träger in das Basisband verschiebt, müsste die Eingangs-Bandbreite des A/D-Wandlers nicht 4 MHz, sondern nur 50 kHz betragen, was die Anforderungen an die ADC-Eingangsstufe und die Eingangsfilter entsprechend entschärft.

Was man mit Überabtastung erreichen kann

Das Oversampling (Überabtastung) sorgt für einen so genannten Verarbeitungsgewinn. Bei Anwendung einer zu hohen Abtastrate werden bei einer höheren Abtastfrequenz weit mehr Signalproben genommen als nötig, um die Daten anschließend zu filtern und dadurch das Eigenrauschen des Systems (das hier als breitbandiges weißes Rauschen angenommen werden soll) effektiv zu reduzieren.

Dieses Verfahren unterscheidet sich von der Mittelwertbildung, bei der nach der Aufzeichnung vieler Signalproben das Rauschen gemittelt wird. Man kann sich das Oversampling wie folgt vorstellen: Wenn das Eingangssignal aus einer Signalquelle stammt, die ein bestimmtes Frequenzspektrum durchläuft, so lässt sich dieses Spektrum in Teilbereiche (‚Bins‘) von jeweils einer bestimmten Breite unterteilen.

Breitband-Rauschen in Bins reduzieren

Das Breitband-Rauschen verteilt sich auf den gesamten interessierenden Frequenzbereich, sodass auf jedes der oben genannten Bins ein gewisser Teil des Rauschens entfällt. Wird jetzt die Abtastrate heraufgesetzt, erhöht sich auch die Zahl der Bins. Das Rauschen ist hier unverändert, aber es verteilt sich auf mehr Bins. Man entfernt nun mit einem Filter das außerhalb des interessierenden Frequenzbereichs liegende Rauschen. Jedes Bin enthält deshalb jetzt weniger Rauschen. Durch das Oversampling ist es also gelungen, das Eigenrauschen des Systems zu verringern.

Beispielrechnung für den Verarbeitungsgewinn

Dazu ein Beispiel: Wenn wir einen A/D-Wandler mit einer Abtastrate von 2 kSample/s haben (in der folgenden Formel wird eine Nyquist-Grenze von 1 kHz angenommen), die Signalfrequenz 1 kHz beträgt und sich an den A/D-Wandler ein 1-kHz-Digitalfilter anschließt, beträgt der Verarbeitungsgewinn –10 × lg (1 kHz/1 kHz) = 0 dB.

Erhöhen wir dagegen die Abtastrate auf 10 kSample/s, errechnet sich ein Verarbeitungsgewinn von –10 × lg (1 kHz/5 kHz) = 7 dB, was ungefähr 1 Bit Auflösung entspricht (1 Bit mehr Auflösung kommt in etwa einer Verbesserung des Signal-Rauschabstands SNR um 6 dB gleich). Das Oversampling verringert zwar nicht das Rauschen, aber das Rauschen wird über eine größere Bandbreite verteilt, sodass dank des Digitalfilters ein Teil des Rauschens aus dem interessierenden Frequenzbereich herausfällt. Der Effekt ist, dass innerhalb des interessierenden Frequenzbands weniger Rauschen verbleibt. Grundlage für diese Verbesserung des Rauschverhaltens ist folgende Gleichung :

SNR-Verbesserung [dB] = 10 × lg A/B.

Darin steht A für das Rauschen und B für das Rauschen nach dem Oversampling.

Anders ausgedrückt, verringert das Oversampling das effektive Quantisierungsrauschen im interessierenden Frequenzbereich um die Quadratwurzel des Oversampling-Verhältnisses. Wird das Rauschen um den Faktor 2 verringert, ergibt sich ein effektiver Verarbeitungsgewinn von 3 dB.

Hierbei darf jedoch nicht vergessen werden, dass es hier nur um das Breitband-Rauschen geht. Rauschen aus anderen Quellen und andere Fehler lassen sich nicht einfach durch Oversampling entfernen.

Ausgestattet mit diesem Hintergrundwissen, können jetzt die Anti-Alias-Filter betrachtet werden.

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