Power-Tipps von TI, Teil 25 Umwandeln von Parallel- in Serienimpedanzen

Im vorliegenden Power-Tipp wollen wir zeigen, wie sich Parallelimpedanzen schnell in Serienimpedanzen (und umgekehrt) umwandeln lassen. Dabei wird deutlich, dass eine grafische Darstellung dieser Transformation als Funktion der Frequenz einem Smith-Diagramm sehr ähnlich ist.

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Das hier beschriebene Verfahren ist nützlich, wenn Transformator-Ersatzschaltbilder oder Filternetzwerke zu Bausteinen mit nur zwei Anschlüssen vereinfacht werden sollen. Bild 1 zeigt die Gleichung für die Umwandlung eines Parallelkreises in einen Serienkreis (Herleitung siehe Anhang 1).

Interessanterweise erzeugen diese Gleichungen Kreise in der Rs/Xs-Serienschaltungsebene, wenn eine der parallelen Komponenten auf einem festen Wert gehalten und die andere von einem Leerlauf zu einem Kurzschluss variiert wird.

Die Variation kann entweder durch Ändern des Komponentenwertes oder durch Ändern der Impedanz von Komponenten über der Frequenz bewerkstelligt werden. Bild 2 zeigt zwei Beispiel für diese Variationen. Auf der Abszisse ist der Serienwiderstand aufgetragen, auf der Ordinate die Serienreaktanz.

Einer der beiden Kreise entsteht bei konstantem Parallelwiderstand, der andere bei konstanter Reaktanz. Die Kurve für den konstanten Widerstand verläuft symmetrisch zur Abszisse. Wenn die Reaktanz nahezu einem Leerlauf entspricht, ist die Impedanz gleich dem Parallelwiderstand. Mit Verringerung der Reaktanz verläuft die Kurve auf einem Kreis in Richtung Ursprung.

Bei einer induktiven Komponente verläuft sie ins Positive und bei einer kapazitiven Komponente ins Negative. Bei Verringerung der reaktiven Impedanz nähert sich die Kurve dem Wert Null. Der Kreis hat seinen Mittelpunkt auf der Abszisse in einem Abstand, der gleich dem halben Parallelwiderstand ist, und besitzt einen ebensolchen Radius.

Beachtenswert ist ferner, dass die Neigung einer Linie, die man vom Ursprung aus zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis zieht, gleich der Güte Q der Schaltung ist. Die niedrigste Güte stellt sich also bei den größeren Werten der parallelen reaktiven Impedanz ein, während sich die höchste Güte bei einer niedrigen Parallelreaktanz ergibt.

Ebenfalls interessant an diesem Kreis ist, dass er die Impedanz eines LCR-Parallelresonanzkreises abbildet. Wie die blaue Kurve (konstanter Parallelwiderstand R) zeigt, ist die induktive Impedanz bei niedrigen Frequenzen klein, so dass die Kurve im Ursprung beginnt.

Mit steigender Frequenz verläuft die Impedanz im Positiven (d. h. im oberen Quadranten), bis die kapazitive und die induktive Reaktanz am Resonanzpunkt (1 auf der Abszisse) gleich groß sind. Anschließend wechselt der Kurvenverlauf in den unteren Quadranten und setzt sich auf der Kreislinie fort.

Die zweite Kurve zeigt den kreisförmigen Impedanzverlauf bei einer festen Reaktanz und einem variablen Parallelwiderstand. Sie hat dieselbe Form wie die Kurve für den konstanten und festen Widerstand R, nur mit dem Unterschied, dass ihr Mittelpunkt auf der Ordinate liegt.

Wie lässt sich dies nun in der Praxis anwenden? Nützlich kann dieser Zusammenhang sein, wenn man zu bestimmen hat, wie der DC-Widerstand (DCR) einer Induktivität und der äquivalente Serienwiderstand (ESR) eines Kondensators die Ausgangsimpedanz eines Stromversorgungstiefpassfilters beeinflussen.

Dies ist in Bild 3 veranschaulicht. Die Ausgangsimpedanz ist bei Resonanz am höchsten, so dass zunächst die Resonanzfrequenz des Filters zu berechnen ist. Anschließend wendet man eine Serien-Parallel-Umwandlung auf die Induktivitäts-DCR-Kombination und die Kondensator-ESR-Kombination an.

Schließlich braucht man nur noch die drei nunmehr parallel geschalteten Widerstände miteinander zu kombinieren. Als Beispiel seien ein 47-µF-Keramikkondensator mit einem als 0 Ω angenommenen ESR und eine 10-μH-Ausgangsinduktivität mit einem DCR von 50 mΩ betrachtet. Die Resonanzfrequenz beträgt 7 kHz. Bei dieser Frequenz hat die Induktivität eine Reaktanz von 0,4 Ω, woraus sich ein Q von 8 und ein Parallelwiderstand von 3 Ω ergeben.

Noch schneller gelangt man zum Ergebnis, wenn man die charakteristische Impedanz ((L/C)^0,5) für die Reaktanz der Induktivität bei Resonanz heranzieht.

Ich hoffe, Sie sind auch nächstes Mal wieder dabei, wenn wir auf Strategien zur Kompensation einer Stromversorgung mit galvanischer Trennung eingehen werden.

* Robert Kollman ist Senior Applications Manager und Distinguished Member of Technical Staff bei Texas Instruments

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